ගොඩ කාලෙකට පස්සේ තමයි මට ඔයාලගේ කොක්ක ගැන ලියන්න හම්බුනේ. 😀 මටත් වැඩ ගොඩක් තිබුන නිසා ලියන්න වෙලාවක් හම්බුනේ නැහැ.ඉතින් මම අද ඔයාලට කොක්ක ගැන පාඩම් මාලාවේ පස්වෙනි කොටස ගැන ලියන්නේ නිශ්චිත අනුකල (definite integrals) ගැන තමයි.ඔයාලට කොටස් වශයෙන් අනුකලනයත් තියෙනවා ඉගෙන ගන්න (parts by integration).පොඩ්ඩක්වත් බය වෙන්නෙපා.ගොඩක් ලේසියි මෙව්වා.අපි හිමින් හිමින් ඉස්සරහට යමුකෝ.දැනටමත් අපි ගොඩක් ඉස්සරහට ගිහිල්ල ඉන්නේ.තව බොහොම පොඩ්ඩයි ඉතිරිවෙලා තියෙන්නේ.හැබැයි මම මේකත් මතක් කරන්න ඕනේ.ඔයාල මම පහුගිය පාඩම් වලදී කියපුව නම් මතකයේ තියෙන්න ඕනේ.එකයි මම හැමතිස්සෙම කියන්නේ මේ පාඩම් ටික එකිනෙකට සම්බන්ධවෙලා තියෙන්නේ කියලා. 😀 අපි දැන් යමු කොටස් වශයෙන් අනුකලනයට….. ඔයලට මතකද මම අවකලනය ගැන පලවෙනි පාඩමේදී කියල දුන්නා ශ්‍රිත දෙකක ගුණිතය අවකලනය කරන්නේ කොහොමද කියලා? ඒක අමතක නම් මෙන්න මේ link එකෙන් ගිහිල්ල බලන්න පුළුවන් ඔයාලට… අපි ගුනිතයක අවකලනය ලිව්වෙ මෙන්න මෙහෙමනෙ…

මම ඒ සමීකරණය මෙන්න මේ විදිහට සකස් කරනවා…

ඔයාල මේ සමීකරණය මතකයේ තබා ගන්න ඕනේ වෙනවා….

පොඩ්ඩක්වත් අමාරු නැහැ..ඔයාල ගුණිතයක අවකලනය පොඩ්ඩක් සකස් කලාම ඉතාමත් පහසුවෙන් මේ සමීකරණය හදා ගන්න පුළුවන්…දැන් ඔයාලට ප්‍රශ්නයක් නේද u කියන්නේ මොකක්ද v කියන්නේ මොකක්ද කියල මෙතන? මම උදාහරණයක්ම අරගෙන කියල දෙන්නම්කො ඔයාලට 😀 අපි බලමු ∫xcosx අනුකලනය කරන්නේ කොහොමද කියලා.මම ඉතාමත් සරල උදාහරණයක් ගත්තේ ඔයාලට සරලව පැහැදිලි කරලා දෙන්නයි.. මෙතැනදී ඔයාලට පේනවා ශ්‍රිත දෙකක් ගුනිතයකින් සම්බන්ධ වෙලා තියෙනවා කියලා.ඒ ශ්‍රිත දෙක හදුනා ගන්නත් දැන් ඔයාලට පුළුවන් වෙන්න ඕනේ. x සහ cosx කියන ශ්‍රිත දෙක තමයි තියෙන්නේ.. දැන් අපි බලමු කවුද u කවුද dv/dx කියන්නේ කියලා… අපි මේ ශ්‍රිත දෙකෙන් අවකලනය කරලා ඉවර කරන්න පුළුවන් ශ්‍රිතය..එහෙමත් නැත්තම් ශ්‍රිත දෙකෙන්ම x විශයෙන් කිහිප වතාවක්ම අවකලනය කරලා 0 පිළිතුර විදිහට ලැබෙන ශ්‍රිතය තමයි u විදිහට සාමාන්‍යයෙන් සලකන්නේ.එහෙනම් ඔයාලට තේරෙනවා ඇති අනිත් ශ්‍රිතය dv /dx වෙනවා කියලා….ඔයාලට තේරුනේ නැහැ වගේ නේද? මම කලින් ගත්තු උදාහරණයෙන්ම පැහැදිලි කරලා දෙන්නම්කෝ… අපේ උදාහරණයට අනුව u = x වෙනවා. ඇයි මම u = x විදිහට තෝරා ගත්තේ? x කියන ශ්‍රිතය x විශයෙන් එක් වරක් අවකලනය කලොත් පිළිතුර 1 වෙනවා ( dx /dx නිසා ) නැවතත් x විශයෙන් අවකලනය කලොත් පිළිතුර 0 වෙනවා… ඔයාලට මතක ඇතිනේ නියතයක් අවකලනය කලොත් උත්තරේ 0 කියලා.මෙතැනදී 1 කියන්නේ නියතයක් (constant) මම හිතනවා දැන් ඔයාලගේ u ව හොයා ගැනීමේ අවුල විසඳුනා කියලා.. දැන් එහෙමනම් අනිත් ශ්‍රිතය වෙන්නේ dv /dx ටයි.අපි දැන් v ව හොයමු.පොඩ්ඩක්වත් අමාරු නැහැ… dv/dx = cosx නේ…. ඒ නිසා dv = cosx dx වෙනවා.. අපි දැන් දෙපැත්තම අනුකලනය කරමු… එතකොට අපිට මෙන්න මෙහෙම ලියන්න පුළුවන්… ∫dv= ∫cosx dx ඔයාලට මතක නේද cosx වල අනුකලනය? එතකොට අපිට ලියන්න පුළුවන් v = sinx වෙනවා..ඔන්න දැන් අපි u සහ v හොයා ගත්තා.දැන් තියෙන්නේ අර සමීකරණයට ආදේශ කරලා අවසාන පිළිතුර ගන්න එක තමයි… අපිට ඒ වගේම du /dx හොයා ගන්නත් වෙනවා. u = x නිසා du /dx =1 වෙනවා.. එහෙනම් අපිට දැන් ලියන්න පුළුවන් මෙන්න මෙහෙම… ∫xcosx=[x.sinx]-∫sinx.1 dx ඔයාලට හොද සුලුකිරීමක් කරන්න නම් නිශ්චිත අනුකල ගැන දැනගෙන ඉන්න වෙනවා.ඒ නිසා මම කොටස් වශයෙන් අනුකලනය කොටස පොඩ්ඩක් නවත්තලා නිශ්චිත අනුකල ගැන කියලා දෙන්නම්…හැබැයි ඔයාල දැන් කියලා දුන්නු දේවල් වගේම පහුගිය පාඩම් වල කියලා දුන්නු එව්වත් මතකයේ තබා ගන්න ඕනේ වෙනවා… ඔයාලට මතක ඇති නේද අනුකලනය කොටස පටන් ගන්නකොට මම නිශ්චිත අනුකල සහ අනිශ්චිත අනුකල ගැන පොඩි හැදින්වීමක් කරලා දුන්නා? අමතක නම් මෙන්න මේ link එකෙන් ගිහිල්ල ඔයාලට බලන්න පුළුවන්… ඔයාලට මම අනිශ්චිත අනුකල ගැන කියද්දී කිව්වා මතකද අනුකල නියතයක් ගැන… නිශ්චිත අනුකල වලදී අනුකල නියතය භාවිතා කරන්නේ නැහැ අපි.අපි සීමා ආදේශ කරනවා අනුකලනය කරද්දී… තේරුනේ නැහැ වගේ නේද???? 😀 මම සරලව පැහැදිලි කරලා දෙන්නම්කො ඉතාමත් සරල උදාහරණයකින්… ∫cosx dx අපිට හොයන්න තිබ්බ කියල හිතමු … මේක අනිශ්චිත අනුකලයක් වෙනවා… මේක සාමාන්‍ය විදිහට අනුකලනය කලොත් පිළිතුර වෙන්නේ sinx + c මෙතැනදී c කියන්නේ අනුකල නියතය බව ඔයාල දන්නවනේ. නමුත් අපි නිශ්චිත අනුකලනය කලොත් මෙන්න මෙහෙමයි වෙන්නේ…අපි එක සංකේතවත් කරන්නේ මෙන්න මෙහෙමයි…

අනුකලනය කරද්දී ලියන්නේ මෙන්න මෙහෙමයි….

මෙතැනදී a කියන්නේ පහල සීමාවයි,ඒ වගේම b කියන්නේ ඉහල සීමාවයි…මෙතැනදී කරන්නේ අදාළ ශ්‍රිතය අනුකලනය කර ඉහල සහ පහල සීමාවන් ආදේශ කර අන්තරය ගැනීමයි.ඔයාල එකත් හොදට සිහියේ තියා ගන්න ඕනේ,ඒ වගේම මෙතැනදී අර අනුකල නියතය ලියන්න යන්න එපා.සීමාවන් ආදේශ කල නිසා අනුකල නියතය ලියන්නේ නැහැ.නමුත් සමහර ගණිතමය යෙදීම් වලදී සීමාවන් ආදේශ කර අනුකල නියතය නීර්ණය කරන අවස්ථා තියෙනවා, නමුත් ජීව විද්‍යා විෂයන් කරපු ඔයාලට ඒ තරම් ගැඹුරට ගැටළු හමුවන්නේ නැති වේවි.පොඩ්ඩක්වත් අමාරු නැහැ මෙව්වා.හැබැයි ඉතින් ඔයාල මගේ මුල් පාඩම් වල තියෙන සිද්ධාන්ත කොටස් නම් මතකයේ තියා ගන්න වෙනවා…. අපි තව සරල උදාහරණයක් අරන් බලමු…

දැන් ඔයාලට නිශ්චිත අනුකල ගැන යම්කිසි හෝ දැනුමක් ලැබුනා නේද? ඔයාල දැන් ඔයාල ලග තියෙන නිබන්ධන ආශ්‍රිත ගැටළු කරන්න ඕනේ…මොකද මේ වගේ ගැටළු කිහිපයක් කරලා පළපුරුද්දක් එහෙමත් නැත්තම් අත්දැකීමක් ඔයාල ගන්න ඕනේ….එතකොට ඔයාලට කොක්ක ඇත්තටම ඇණයක් වෙන්නේ නැති බව මට සහතිකයි… අපි දැන් යමු මම තාවකාලිකව නවත්තපු කොටස් වශයෙන් අනුකලනය ගැටලුවට…. ∫xcosx=[x.sinx]-∫sinx.1 dx අපි ඒක නිශ්චිත අනුකලයක් විදිහට ලියන්නේ මෙහෙමයි… දැන් අපි අනුකලනය කරමු… පොඩ්ඩක්වත් අමාරු නැහැ….. 😀 අවසාන පිළිතුර වෙන්නේ….. දැක්කා නේද??? ඉතාම සරලයි…. a = 0 සහ b = π/2 වුනොත් අපි බලමු මොකද වෙන්නේ කියලා… අපි ආයෙත් මුල ඉදන්ම හිමිහිට අනුකලනය කරමු… ඕ ඕ ඔයාල අංශක, රේඩියන් වලට පරිවර්තනය කරන්න දන්නවා නේද? නැත්තම් ඔයාල බලාවි මොකද මේ මම π/2 කියලා ලිව්වේ කියල 😀 රේඩියන් වලින් π/2 කියන්නේ අංශක 90 කියලා ඔයාලා දැනගෙන ඉන්න ඕනේ..එව්වා පොඩ්ඩක්වත් අමාරු නැහැ 😀 අපිට අනුකලනය කරන්න වෙන්නේ මෙන්න මේක තමයි…. මෙතන ඉදන් අනුකලනය කරන්න ඕනේ පියවරවල් ටික මම ඔයාලට පෙන්නන්නම්… අවසාන පිළිතුර වන්නේ…. දැන් ඔයාල මේ සම්බන්ධයෙන් ඇති ගැටළු පසුගිය විභාග ප්‍රශ්න පත්‍ර වලින් හොයල කරන්න ඕනේ.ඒ වගේම ඔයාල ලග තියෙන නිබන්ධනත් අනිවාර්යෙන්ම කරන්න ඕනේ.මොකද නැත්තම් ගණන් හැදීමේ පළපුරුද්ද නැති වෙනවා.පිහිනීමට ඉගෙන ගත්තාට මදි පිහිනා අත්දැකීම ලබා ගන්න ඕනේ.ඒ වගේමයි ගණන් සෑදිය යුතුමයි පළපුරුද්ද ලබා ගන්න ඕනේ නම්…. මම ඔයාලගේ කොක්ක ගැන තියෙන බය නැතිවෙන්න මේ ලිපි පෙළ බෙහෙවින් ප්‍රයෝජනවත් වුනා කියලා සිතමි.ඔයාල මේ ලිපි මාලාවෙන් යම්කිසි ප්‍රයෝජනයක් ගත්තා නම් මාගේ තෘප්තියත් එයමයි.පුරා ලිපි පහක් ඔස්සේ “කොක්ක ඇණයක් වගේද” කියලා මම ඉතාමත් ගැඹුරු කලනය කොටස ඉතාමත් සරලව ඔයාලට කියලා දුන්න.මම මේ ලිපි පෙළ මෙතනින් නිමා කරනවා.අපගේ දෙවෙනි වසරේ සහෝදර සහෝදරියටත් පලවෙනි වසරේ නංගිලා මල්ලිලාගේත් පලවෙනි සමාසික විභාගය අත ලඟම එනවා.එහෙනම් මම ඒ සියල්ලන්ටම ජය පතනවා.මමත් දැන් පාඩම් කරන්න යන්න ඕනේ. 😀 එහෙනම් හැමෝටම ජයවේවා.

පලි : මේ ලිපි මාලාව පිළිබඳව ඔබගේ වටිනා අදහස් දැනගන්න මම කැමතියි.මොකද මට ඊළඟ ලිපි මාලාව සාර්ථක කරගන්න ඔයාලගේ අදහස් උදහස් ඉතාමත් වටිනා බැවිනි.ඔයාලට පල්ලෙහා comment කරන්න පුළුවන්.ඒ වගේම ඔබට යම්කිසි ගැටළුවක් ඇත්නම් upeka.prayaga@gmail.com කියන email ලිපිනය ඔස්සේ සම්බන්ධ වෙන්න පුළුවන්. හැබැයි මම කාරුණිකව මතක් කරන්න කැමතියි වැඩ රාජකාරි අධික නිසා email බැලීමට මට වෙලාවක් තියේවිද කියල… ඒ කෙසේ වෙතත් මා දන්නා හදුනන පිරිසට නම් facebook ඔස්සේ මා හා සම්බන්ධ වෙන්න පුළුවන්…….

Image sources : 1.bp.blogspot.com intmstat.com www.math10.com