F=Gm₁m₂ /r²

මේ සමීකරණය ඔබ අප හැම දෙනාම හොදින් හදුනන සමීකරණයක් බව අමුතුවෙන් කිව යුතු නොවේ. මේ තුළින් වස්තු දෙකක් අතර ඇති වන ගුරුත්වාකර්ෂණ බලය පිළිබඳ පැහැදිලි කරනු ලබන අතර මෙකී සම්බන්ධය සර් අයිසැක් නිව්ටන් විසින් ලොවට පළමු වරට පැහැදිලි කරන ලදී. මේ හරහා ග්‍රහලෝක චලිතය පිලිබද පැන නැගුනු බොහෝ ප්‍රශ්න විසදීම සිදු විය. නමුත් මේ වස්තූන් දෙක අතරට තවත් තුන්වෙනි වස්තුවක් පැමිණියහොත් කුමක් විය හැකි ද?

ප්‍රශ්නය මතුපිටින් සරල සේ පෙනෙන නමුදු මෙය ලොව පුරා විද්‍යාඥයන් හට වසර 400 ක් පුරා මහත් හිසරදයක් වූ ගැටළුවක් බවට මෙය පෙරලුන අතර මෙම ගැටළුවට තුන් වස්තු ප්‍රශ්නය (Three Body Problem) ලෙස නම් විය.මෙම ගැටළුව පලමු වරට හදුනා ගත්තේ අන් කිසිවෙකු නොව ගුරුත්වාකර්ෂණය පිලිබද ලොවට පැහැදිලි කරදුන් සර් අයිසැක් නිව්ටන් ය.

ද්වි වස්තු ගැටළුව හා තුන් වස්තු ගැටළුව

පළමු ව නිව්ටන් විසින් සිය විශ්වීය ගුරුත්වාකර්ෂණ නීතීන් (Universal Gravitational Law) හරහා සූර්යයා වටා ග්‍රහලෝකයන් සිදු කරන ඉලිප්සාකාර පථයන් පැහැදිලි කිරීම සිදු කරන ලද අතර ඒ හරහා ද්වි වස්තු ගැටළුව (Two Body Problem) මැනවින් විසදීම සිදු විය. ඉන් අනතුරුව හෙතෙමේ සූර්යයා, චන්ද්‍රයා හා පෘථිවිය සලකා සිය නියමයන් තුලින් නිශ්චිත වේලාවේ දි චන්ද්‍රයාගේ නිශ්චිත පිහිටීම සෙවීමේ ක්‍රමයක් සෙවීමට උත්සාහ දැරීය. මේ සදහා ඔහු තමන්ගේ ප්‍රින්සිපියා (Principia) ග්‍රන්ථයේ 65 හා 66 ප්‍රස්තූතයන් /ප්‍රමේයයන් (Propositions) තුල චන්ද්‍රයාගේ ගමන් පථය නිශ්චය කිරීමට උත්සාහ කළ නමුදු එය ව්‍යාර්‍ථ වන්නේ සූර්යයා-චන්ද්‍ර-පෘථිවි රාමුව තුල වස්තූන්ගේ චලිතයන්හි යම් යම් අවස්ථාවන්වල චන්ද්‍රයා වෙත සූර්යයා විසින් ඇති කරන ආකර්ෂණය, පෘථිවිය විසින් සඳ මත ඇති කරන ආකර්ෂණයට වඩා ඉහළ යන බව පෙනී ගියත් චන්ද්‍රයා පෘථිවිය වටා නොවෙනස්ව ඉලිප්සාකාර පථයක කක්ෂගතව සිටීම පැහැදිලි කිරීමට නොහැකි වීම හේතුවෙනි. නමුත් උත්සාහය අත් නොහරින නිව්ටන් මේ සදහා නැවතත් 1694-1702 අතර කාලයේ වෙහෙසෙන මුත් සාර්ථක විසදුමක් සොයා ගැනීමට ඔහුට නොහැකි වන අතර එය නිව්ටන්ගේ අවසන් විද්‍යාත්මක ගවේෂණය ලෙස සැලකේ. මේත් සමගින් මෙම ගැටලුව තුන් වස්තු ගැටළුව(Three Body Problem) ලෙසින් විද්‍යා සමාජයේ මහත් කැලඹිල්ලකට පත් කරමින් වසර 400 පුරා සාර්ථක විසදුමක් සෙවිය නොහැකි පැනයක් බවට පත් විය.

ගතවූ වසර 400 තුල ලොව පුරා විද්‍යාඥයන් විසින් මේ සදහා විසදුම් ඉදිරිපත් කරන ලද අතර මෑතක් වෙන තුරු සාර්ථක විසදුමක් සෙවීමට ඔවුන් අපොහොසත් විය. එනමුත් යම් යම් සීමා හා කොන්දේසි මත මේ සදහා විසදුම් ඉදිරිපත් කිරීමට විද්වතුන් සමත් වූ අතර එලෙස මේ සදහා එක් වූ විසදුමක් ලෙස ලග්‍රාන්ජ් පිහිටුම් (Lagrange points) සැලකිය හැක.

ලග්‍රාන්ජ් පිහිටුම් සෙවීම

ඒ අනුව විශාල ස්කන්ධයන් දෙකක් අතර තෙවෙනි වස්තුවක ස්ථායීතාව තලීය අවකාශයක සෙවීම මෙම ක්‍රමයේදි සරලව සිදුවේ. මෙම ක්‍රමයේ දි තුන්වන ස්කන්ධය පළමු ස්කන්ධ දෙකට ම වඩා ඉතා කුඩා විය යුතු අතර (m₁ ,m₂ >>m₃) මෙකී පළමු ස්කන්ධ දෙකම පොදු ගුරුත්ව කේන්ද්‍රයක් වටා වෘත්තාකාර කක්ෂ වල (e=0) ගමන් ගත යුතු ය. එම නිසා මෙම ක්‍රමය පාලිත ඒක තල වෘත්තාකාර තුන් වස්තු ප්‍රශ්නය ලෙස ද (circular coplanar restricted three body problem) හැදින්වේ.

මෙහි පළමු ලක්ෂ්‍ය 3 (L₁ ,L₂ ,L₃)  ලියොන්හාඩ් එයුලර්(Leonhard Eular-1762) විසින් සොයා ගත් අතර මෙම ලක්ෂ්‍ය ප්‍රධාන ස්කන්ධ දෙක යා කරමින් පිහිටන හෙයින් මෙම ලක්ෂ්‍යයන් ඒක රේඛිය ලග්‍රාන්ජ් ලක්ෂ්‍ය (Co-linear lagrange points) ලෙස හැදින්වේ. ඔහුගේ අනාවරණයෙන් පසු 1772 දි ජෝසප් ලුවිස් ලග්‍රාන්ජ් (Joseph-Louis Lagrange) විසින් ඔහුගේ ත්‍යාගලාභි පර්යේෂණ පත්‍රිකාව වන Essai sur le Problème des Trois Corps තුළින් පෙර කී ලක්ෂ්‍ය වලට අමතරව L₄ ,L₅ ලෙස තවත් ලක්ෂ්‍යයන් 2 ක් පවතින බව පැහැදිලි කරන ලදී. මෙලෙසින් ඉහත තත්වයන් තුල සියළු ස්ථාවර ලක්ෂ්‍ය පැහැදිලි කිරීම වෙනුවෙන් මෙම ලක්ෂ්‍යයන් ලග්‍රාන්ජ් ලක්ෂ්‍ය ලෙස නම් කරන ලදී.

ලග්‍රාන්ජ් ලක්ෂ්‍යන්හි ස්ථයිතාව

ලග්‍රාන්ජ් ලක්ෂ්‍යයන්හි ස්ථයිතාව පිලිබද සාක්ච්ඡා කිරීමේදි අදාල විශාල ස්කන්ධයන් අතර ගුරුත්වාර්කෂණ විභවයේ පැතිරීම හා කේන්ද්‍රාපසාරී බලයන්ගේ ක්‍රියාකාරීත්වය සැලකීම සිදු කල යුතු අතර එලෙස සැලකීමේ දි පහත ලෙස නිරූපණයක් දක්නට ලැබේ.

මෙහි L₁ ,L₂ ,L₃ ලක්ෂ්‍යයන් විශාල ස්කන්ධ දෙක (මෙම ස්කන්ධයන් දෙක අතර අනුපාතය 24:1 (m_{1 >}m₂) වඩා විශාල වීම මෙම ලක්ෂ්‍යයන්හි ස්ථායිතාවයට වැදගත් වේ.) අතර පවතින අතර මේවා තරමක් අස්ථායි පිහිටුම් ලෙස ගැනේ. විශේෂයෙන් L₁ ලක්ෂ්‍යය ස්කන්ධ දෙක අතර පිහිටන අතර මෙය ඉතා අස්ථායි පිහිටුමක් (saddle point) ලෙස විභවයන්හි පිහිටීම සැලකීමේ දි පෙනී යයි. එවිට L₂ ලක්ෂ්‍යය කුඩා ස්කන්ධය පස වස්තු දෙකට ඉවතින් පිහිටන්නේ L₁ හා ඒක රේඛිය වෙමින් වන අතර එය පෙර ලක්ෂ්‍යයට වඩා බොහෝ දුරට ස්ථායිතාවක් සහිතව පිහිටීම සිදු වේ.

එවිට තෙවන ලග්‍රාන්ජ් ලක්ෂ්‍යය කුඩා ස්කන්ධයට  180⁰ දිශාවකින් විශාල ස්කන්ධය පස කුඩා ස්කන්ධය ගමන් ගන්නා පථයට ආසන්නව පිහිටීම සිදු වේ. මෙසේ ස්කන්ධ දෙක යා කරන මනඃකල්පිත රේඛාවක් නිර්මාණය කරන්නේ L₁ හා L₂ ද එම රේඛාව මත පිහිටන අයුරිනි. මෙය සෑම විටම කුඩා වස්තුවට 180⁰ කින් විරුද්ධ දිශවෙන් පිහිටන හෙයින් මෙම පිහිටුමේ ඇති වස්තු කිසිවිටක කුඩා වස්තුවට නිරීක්ෂණය කිරීමේ හැකියාවක් නොලැබේ (විශාල වස්තුව මගින් මෙම ලක්ෂ්‍යයෙන් එන ආලෝකය සැම විට ම ආවරණය කිරීම). පෙර ලක්ෂ්‍ය දෙකටම වඩා ගුරුත්ව විභව පැතිරුම සැලකූ විට ස්ථායි බව ඉහල මෙම ලක්ෂ්‍යය එයුලර් විසින් සොයා ගත් ඒක රේඛීය ලග්‍රාන්ජ් ලක්ෂ්‍ය අතර වැඩිම ස්ථායිතාව සහිත පිහිටුම ලෙස සැලකිය හැක.

එවිට L₄ හා L₅ ලක්ෂ්‍යයන් ස්කන්ධ දෙපස නිර්මාණය වන ඉහල ගුරුත්ව විභව අවකාශයන්හි විශාල ස්කන්ධයත්, කුඩා ස්කන්ධයත් යා කරමින් තැනෙන මඃකල්පිත සමපාද ත්‍රිකෝණයන්හි කෙලවර වල පිහිටීම සිදු වේ.

බැලූ බැල්මට ස්ථායිතාවක් නොපෙන්වන නමුදු මෙම පිහිටුම් දෙකේ දී පෙර ලක්ෂ්‍යයන්හි ප්‍රමුඛ ව ක්‍රියා නොකරන කොරියෝලියස් (Coriolis force) නම් බල විශේෂයක් ප්‍රමුඛ ව ක්‍රියා කිරීම සිදු වේ. මෙම බලය අවස්ථිතික සමුද්දේශ (අන් වස්තූන්ට සාපේක්ෂව නිශ්චල හෝ ඒකාකාර ප්‍රවේගයෙන් සරල රේඛාවක ගමන් ගන්නා) රාමුවට සාපේක්ෂව භ්‍රමණය වන වස්තූන් මත යෙදෙන අවස්ථිතික බලයක් (inertial force) වන අතර මෙය වස්තුවේ චලන දිශාවට විරුද්ධ දිශාවට ක්‍රියා කරනු ලැබේ. මේ හේතුව කොට ගෙන මෙම ඉහල ගුරුත්ව විභවයක් ඇති කලාප දෙකෙහි ඇති වස්තු විශල ස්කන්ධ තුලට චලනය වීම හෝ ඉවතටට ඇදී යාම බොහෝ දුරට නැවතී ස්ථායිව රැදීම සිදු වේ.

ලග්‍රාන්ජ් ලක්ෂ්‍යයන්හි යෙදීම්

ලග්‍රාන්ජ් ලක්ෂ්‍යයන්හි යෙදීම් බොහෝ ඇති අතර ඒවා ස්වභාවික හා අභ්‍යාවකාශ යෙදීම් ලෙස ප්‍රධාන ලෙස වෙන් කල හැක. ස්වභාවික යෙදුම් ලෙස ප්‍රධාන වශයෙන් බ්‍රහස්පති හා සූර්යයා අතර ලග්‍රාන්ජ් පිහිටුම් ප්‍රධාන වේ. මෙම ලග්‍රාන්ජ් පිහිටුම් අතර සුප්‍රසිද්ධ ට්‍රොජන් ග්‍රහක වළල්ල (Trojan belt) පිහිටන අතර ( L₄  ග්‍රීක කදවුර ලෙස හා L₅  ට්‍රෝයි කදවුර ලෙස ) මේ තුලට ග්‍රාහක පටියෙන් වෙන් වී විශාල ග්‍රාහක ප්‍රමාණයක් ඇතුලු වී ස්ථායි පිහිටීම් වල යෙදෙමින් බ්‍රහස්පතිගේ කක්ෂයේ ගමන් ගැනීම සිදු වේ. එලෙසම අසල හිල්ඩාස් (Hildas) නම් කුඩා ග්‍රාහක එකතුවක් රැදී පැවතීම සිදු වේ.

එලෙසම පෘථිවිය හා සූර්යයා අතර ආකර්ෂණ බල සලකා ඇති වන ලග්‍රාන්ජ් පිහිටුම් සැලකීමේ දී  L₄ හා L₅ ආශ්‍රිතව දූවිලි එක් රැස් වීමක් නිරීක්ෂණය වන අතර මෙම පිහිටුම් තුල පළමු ග්‍රාහකය  වන 2010 TK7 2010 දී WISE දුරේක්ෂය මගින් සොයා ගන්නා ලදී.

එලෙස ම අභ්‍යාවකාශ මෙහෙයුම් වලදී අඩු ඉන්ධන පිරිවැයකින් කාර්යය ඉටු කර ගැනීම සදහා පෘථිවිය-සූර්යයා අතර ලග්‍රාන්ජ් ලක්ෂ්‍යයනුත් පෘථිවිය-චන්ද්‍රයා අතර ලග්‍රාන්ජ් ලක්ෂ්‍යයනුත් බහුලව භාවිතා කිරීම සිදුවන අතර විශේෂයෙන් පෘථිවිය-සූර්යයා අතර ලක්ෂ්‍යය සූර්යයා නිරීක්ෂණය කිරීමේ නිරීක්ෂණාගාර සඳහා ත් එහිම ලක්ෂ්‍යය ගැඹුරු ආකාශ වස්තු නිරීක්ෂණය කිරීමේ නිරීක්ෂණාගාර සඳහා ද යොදා ගැනීම සිදුවේ.එලෙසම වර්තමාන සඳ මෙහෙයුම් හි පෘථිවිය-චන්ද්‍රයා අතර හා සූර්යයා-පෘථිවිය අතර ලග්‍රාන්ජ් පිහිටුම් යොදා ගනිමින් කාර්යක්ෂම මෙහෙයුම් සිදු කිරීම වන අතර අනාගතයේ දී ඉන්ධන කාර්යක්ෂම ප්‍රචාලක යන්ත්‍ර වැඩි වශයෙන් එක් වීමත් සමඟ මෙලෙස ලග්‍රාන්ජ් පිහිටුම් යෙදීම හරහා කරනු ලබන මෙහෙයුම් ඉහල යනු ඇතැයි අපේක්ෂා කරනු ලැබේ.

මූලාශ්‍ර :

1. Nolte, D. D. (2019, July 7). The Three-Body Problem, Longitude at Sea, and Lagrange’s Points. Galileo Unbound. https://galileo-unbound.blog/2019/07/05/the-three-body-problem-longitude-at-sea-and-lagranges-points/
2. NASA. (n.d.). What is a Lagrange Point?. NASA. https://solarsystem.nasa.gov/resources/754/what-is-a-lagrange-point/
3. Admin. (2019, November 1). Lagrange Points – The 3-Body Problem. Gereshes. https://gereshes.com/2018/12/03/an-introduction-to-lagrange-points-the-3-body-problem/
4. Admin. (2019a, November 1). Dynamics of the 3-Body Problem. Gereshes. https://gereshes.com/2018/11/12/dynamics-of-the-3-body-problem/
5. Plaxco, J. (n.d.). The Five Lagrange Points: L1, L2, L3, L4, and L5. Chicago Society for Space Studies. https://www.chicagospace.org/the-five-lagrange-points-l1-l2-l3-l4-and-l5/
6. Sutter, P. (2022, March 17). How Lagrange points solved one of physics’ biggest problems. Space.com. https://www.space.com/lagrange-points-solve-major-physics-problem
7. Libretexts. (2021, March 14). 12.8: Coriolis Force. Physics LibreTexts. https://phys.libretexts.org/Bookshelves/Classical_Mechanics/Variational_Principles_in_Classical_Mechanics_(Cline)/12%3A_Non-inertial_Reference_Frames/12.08%3A_Coriolis_Force
8. Encyclopædia Britannica, inc. (n.d.). Coriolis force. Encyclopædia Britannica. https://www.britannica.com/science/Coriolis-force
9. YouTube. (2021). YouTube. Retrieved September 19, 2023, from https://www.youtube.com/watch?v=7PHvDj4TDfM.
10. YouTube. (2022). YouTube. Retrieved September 19, 2023, from https://www.youtube.com/watch?v=WVrWcbyOmxY.

Image Courtesy :

Featured Image: https://bitly.ws/32hY7
Content image 1:https://bit.ly/3MH16ii
Content image 2:https://bit.ly/40SFjdD
Content image 3:https://bit.ly/46aryI1
Content image 4:https://bit.ly/3FV4fHE
Content image 5:https://bit.ly/3SMQJNE
Content image 6:https://bit.ly/3QG8WKo